O logaritmo de x na base b é o expoente ao qual é preciso elevar b para obter x: log_b x = y equivale a bʸ = x. Por exemplo, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8.

Como calcular logaritmo em outra base na calculadora?

Use a mudança de base: log_b x = log x ÷ log b. Para log₃ 50, divida log 50 ≈ 1,69897 por log 3 ≈ 0,477121 e obtenha cerca de 3,5609.

Qual a diferença entre log e ln?

log, sem base escrita, é o logaritmo decimal (base 10). ln é o logaritmo natural, na base e ≈ 2,71828, usado em crescimento contínuo, juros compostos contínuos e decaimento radioativo.

Existe logaritmo de zero ou de número negativo?

Não nos números reais. As condições de existência são: logaritmando maior que zero, base maior que zero e base diferente de 1.

O que são característica e mantissa?

São a parte inteira e a parte decimal do logaritmo decimal. Em log 200 ≈ 2,30103, a característica é 2 (e o número tem 3 algarismos na parte inteira) e a mantissa é 0,30103.

Calculadora de Logaritmo

Calcule logaritmo decimal (log), natural (ln), na base 2 ou em qualquer base, com mudança de base, característica, mantissa e antilogaritmo.

O que é logaritmo

O logaritmo responde à pergunta “a que expoente devo elevar a base para obter este número?”. É a operação inversa dapotenciação:

log_b x = y ⇔ bʸ = x

Nessa notação, b é a base, x é o logaritmando e y é o logaritmo. Exemplos: log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8; log 1.000 = 3 porque 10³ = 1.000; log₅ 1 = 0 porque 5⁰ = 1.

Condições de existência

O logaritmo só existe nos números reais quando:

o logaritmando é positivo (x > 0): não há log de 0 nem de número negativo;
a base é positiva (b > 0);
a base é diferente de 1 (b ≠ 1), porque 1 elevado a qualquer número é sempre 1.

Essas condições aparecem com frequência em exercícios de vestibular para achar o domínio de funções logarítmicas.

Os logaritmos mais usados

Nome	Notação	Base	Onde aparece
Decimal	log x	10	pH, decibéis, escala Richter, ordem de grandeza
Natural (neperiano)	ln x	e ≈ 2,71828	crescimento e decaimento contínuo, Física, Cálculo
Binário	log₂ x	2	computação, bits, quantas vezes dá para dividir ao meio

Mudança de base

A maioria das calculadoras só tem as teclas log e ln. Para qualquer outra base, divida o log do número pelo log da base (vale com log ou com ln):

log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b

Exemplo: log₃ 50 = log 50 ÷ log 3 ≈ 1,69897 ÷ 0,477121 ≈ 3,5609. Conferindo: 3^3,5609 ≈ 50.

Às vezes o resultado é uma fração exata, que a calculadora identifica: log₈ 2 = 1/3, porque 8^1/3 = ∛8 = 2; e log₄ 8 = 3/2, porque 4^3/2 = (√4)³ = 8.

Propriedades operatórias

Propriedade	Fórmula	Exemplo
Produto	log (a × c) = log a + log c	log 200 = log 2 + log 100 ≈ 0,30103 + 2
Quociente	log (a ÷ c) = log a − log c	log 5 = log 10 − log 2 ≈ 0,69897
Potência	log aⁿ = n × log a	log 8 = 3 × log 2 ≈ 0,90309
Logaritmo da base	log_b b = 1 e log_b 1 = 0	ln e = 1

Com log 2 ≈ 0,301 e log 3 ≈ 0,477 (valores que os vestibulares costumam fornecer) dá para obter muitos outros: log 6 = log 2 + log 3 ≈ 0,778.

Característica e mantissa

No logaritmo decimal, a parte inteira se chama característica e a parte decimal,mantissa. A característica de um número maior ou igual a 1 é a quantidade de algarismos da parte inteira menos um: log 200 ≈ 2,30103 tem característica 2, e 200 tem 3 algarismos. Para números entre 0 e 1 a característica é negativa e a mantissa continua positiva: log 0,002 ≈ −2,69897 = −3 + 0,30103 (característica −3, mantissa 0,30103). Repare que 2, 200 e 0,002 têm a mesma mantissa, porque só diferem por potências de 10.

Antilogaritmo e aplicações

O antilogaritmo faz o caminho de volta: se log x = 2, então x = 10² = 100. Escolha “Antilogaritmo” na calculadora para elevar a base ao valor informado.

Um uso prático é descobrir prazos em juros compostos: para saber em quantos meses um valor dobra a 1% ao mês, resolva 1,01ⁿ = 2, ou seja, n = log 2 ÷ log 1,01 ≈ 69,7 meses. Simule o crescimento completo nacalculadora de juros compostos.