O que é fatorar um polinômio
Fatorar é transformar uma soma de termos em uma multiplicação. O polinômio continua o mesmo, só muda a forma de escrever:
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
A forma fatorada mostra as raízes na hora (o produto só dá zero quando um dos fatores é zero: x = 2 ou x = 3) e ajuda a simplificar frações algébricas e resolver equações de grau maior que 2. Esta página trata de polinômios; para decompor um número inteiro em primos, use a calculadora de fatoração em números primos.
Casos de fatoração
| Caso | Forma | Exemplo |
|---|---|---|
| Fator comum em evidência | ax + ay = a(x + y) | 6x² + 9x = 3x(2x + 3) |
| Agrupamento | ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y) | x³ + x² + 2x + 2 = (x + 1)(x² + 2) |
| Diferença de quadrados | a² − b² = (a − b)(a + b) | x² − 9 = (x − 3)(x + 3) |
| Trinômio quadrado perfeito | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² | 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² |
| Trinômio do 2º grau | ax² + bx + c = a(x − x′)(x − x″) | x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) |
| Soma e diferença de cubos | a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²) | x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1) |
Como a calculadora fatora
- Fator comum: tira o MDC dos coeficientes e a menor potência da variável.
- Raízes racionais: pelo teorema das raízes racionais, se p/q é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, p divide o termo independente e q divide o coeficiente líder. Cada candidato é testado.
- Briot-Ruffini: cada raiz encontrada vira um fator (x − raiz) e o polinômio é dividido por ele, baixando o grau.
- Fatores de grau 2 ou mais: se sobrar um polinômio sem raízes racionais, a calculadora testa se ele se separa em fatores com coeficientes inteiros (como x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2)). Cada fator aceito é conferido por divisão exata.
Exemplo completo
Fatorar 2x³ − 8x:
- Fator comum: o MDC de 2 e 8 é 2, e a menor potência é x. Fica 2x(x² − 4).
- Candidatos a raiz de x² − 4: ±1, ±2, ±4. Testando, x = 2 dá 4 − 4 = 0.
- Briot-Ruffini de x² + 0x − 4 por (x − 2): coeficientes 1 | 0 | −4 → quociente 1 | 2, resto 0. Ou seja, x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Resultado: 2x³ − 8x = 2x(x − 2)(x + 2), com raízes 0, 2 e −2.
Dispositivo de Briot-Ruffini
Serve para dividir um polinômio por (x − r). Escreva os coeficientes em ordem (sem esquecer os zeros dos termos que faltam), baixe o primeiro e, para cada coeficiente seguinte, multiplique o último resultado por r e some. O último número é o resto; se for zero, r é raiz. Para x³ − 6x² + 11x − 6 e r = 1:
1 | −6 | 11 | −6 → 1 | −5 | 6 | resto 0 → x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
Quando não dá para fatorar
Alguns polinômios são irredutíveis com coeficientes racionais. Um polinômio do 2º grau só se fatora assim quando o discriminante Δ = b² − 4ac é um quadrado perfeito. Em x² − 2, Δ = 8 e as raízes são ±√2; em x² + 1, Δ = −4 e as raízes são complexas (±i). A calculadora indica esses casos e mostra as raízes, que você também pode conferir nacalculadora de Bhaskara.
Como digitar: use uma única letra como variável, ^ para expoentes (x^3) ou ² e ³, e * ou multiplicação implícita (3x, 2(x + 1)). Produtos e potências de parênteses são expandidos antes de fatorar. Grau máximo: 10.