O que é variância
A variância mede o quanto os valores de um conjunto se espalham em torno da média. Ela é a média dosquadrados dos desvios: cada valor é comparado com a média, a diferença é elevada ao quadrado (para que desvios para cima e para baixo não se cancelem) e o resultado é dividido pelo tamanho do conjunto. Quanto maior a variância, mais heterogêneos são os dados. Ela é a base do desvio padrão, da análise de variância (ANOVA), da regressão e do cálculo de risco de carteiras de investimento.
Fórmulas
População: σ² = Σ(xᵢ − μ)² ÷ N · Amostra: s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1)
Com tabela de frequência, cada desvio ao quadrado é multiplicado pela frequência fᵢ do valor:
s² = Σ fᵢ·(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1), com n = Σ fᵢ
Fórmula alternativa, prática para contas à mão com números inteiros:
s² = (Σ xᵢ² − n·x̄²) ÷ (n − 1)
Exemplo passo a passo
Gols marcados por um time em 5 jogos: 3; 5; 6; 8; 8.
| xᵢ | xᵢ − média | (xᵢ − média)² |
|---|---|---|
| 3 | −3 | 9 |
| 5 | −1 | 1 |
| 6 | 0 | 0 |
| 8 | 2 | 4 |
| 8 | 2 | 4 |
- Média: 30 ÷ 5 = 6
- Soma dos quadrados dos desvios: 9 + 1 + 0 + 4 + 4 = 18
- Como população: σ² = 18 ÷ 5 = 3,6
- Como amostra: s² = 18 ÷ 4 = 4,5
- Conferindo pela fórmula alternativa: Σx² = 9 + 25 + 36 + 64 + 64 = 198, e (198 − 5 × 6²) ÷ 4 = 18 ÷ 4 = 4,5
Exemplo com tabela de frequência
Número de filhos em 10 famílias: 1 filho (2 famílias), 2 filhos (5), 3 filhos (2) e 4 filhos (1). A média é (1×2 + 2×5 + 3×2 + 4×1) ÷ 10 = 2,2. A soma ponderada dos quadrados dos desvios é 2×1,44 + 5×0,04 + 2×0,64 + 1×3,24 = 7,6, então σ² = 7,6 ÷ 10 = 0,76 e s² = 7,6 ÷ 9 ≈ 0,8444.
Amostral ou populacional?
Use a populacional quando os números são todos os elementos do grupo que interessa (as notas de todos os alunos de uma turma, quando a conclusão é só sobre aquela turma). Use a amostral quando os números são uma parte de um grupo maior e você quer tirar conclusões sobre o todo (uma pesquisa com 200 eleitores de uma cidade). Dividir por n − 1 compensa o fato de os dados ficarem, por construção, mais perto da própria média do que da média verdadeira da população.
Por que existe o desvio padrão
Como os desvios são elevados ao quadrado, a variância de alturas em metros sai em m², o que é difícil de interpretar. Tirando a raiz quadrada, volta-se à unidade original: no exemplo dos gols, √4,5 ≈ 2,12 gols. Para análises completas de dispersão, com coeficiente de variação e erro padrão, use acalculadora de desvio padrão.