Quando usar a distribuição binomial?

Quando há um número fixo n de tentativas independentes, cada uma com só dois resultados (sucesso ou fracasso) e a mesma probabilidade p de sucesso. Exemplos: caras em 10 lançamentos de moeda, acertos chutando uma prova de múltipla escolha, peças defeituosas num lote.

Qual a fórmula da distribuição binomial?

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k), em que C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!] é o número de combinações de n elementos tomados k a k.

Como calcular a média e o desvio padrão da binomial?

A média é n × p e a variância é n × p × (1 − p). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Em 10 lançamentos de moeda: média 5, variância 2,5 e desvio padrão de cerca de 1,58.

Qual a diferença entre P(X ≤ k) e P(X < k)?

P(X ≤ k) inclui o próprio k; P(X < k) para em k − 1. Como a binomial só assume valores inteiros, essa diferença muda o resultado. Em 10 lançamentos de moeda, P(X ≤ 5) = 62,30% e P(X < 5) = 37,70%.

Calculadora de Distribuição Binomial

Calcule probabilidades da distribuição binomial: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e entre dois valores, com média, variância e tabela completa.

O que é a distribuição binomial

A distribuição binomial conta quantos sucessos acontecem em n tentativas independentes, todas com a mesma probabilidade p de sucesso. A variável X (número de sucessos) pode valer 0, 1, 2, … até n. A calculadora binomial acima calcula a probabilidade de X ser exatamente k, no máximo k, pelo menos k ou ficar entre dois valores, e mostra a média, a variância, o desvio padrão e a tabela da distribuição.

Para perguntas rápidas do tipo "qual a chance de acontecer pelo menos uma vez", acalculadora de probabilidade resolve direto. Esta página é para quem estuda estatística ou precisa da distribuição completa, de intervalos e das medidas resumo.

Fórmula

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n! ÷ [k! × (n − k)!]

n: número de tentativas
k: número de sucessos desejado
p: probabilidade de sucesso em cada tentativa (em decimal)
C(n, k): combinações de n elementos tomados k a k; veja a calculadora de análise combinatória

Probabilidades acumuladas são somas: P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k), e P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

Medidas da distribuição

média = n × p · variância = n × p × (1 − p) · desvio padrão = √variância

A moda (valor mais provável) é o maior inteiro menor ou igual a (n + 1) × p. Quando (n + 1) × p é inteiro, há duas modas: esse número e o anterior.

Exemplos

10 lançamentos de uma moeda (n = 10, p = 0,5)

Exatamente 5 caras: C(10, 5) × 0,5¹⁰ = 252 ÷ 1.024 = 0,246094 (24,61%).
No máximo 5 caras: 638 ÷ 1.024 = 0,623047.
Pelo menos 8 caras: (45 + 10 + 1) ÷ 1.024 = 0,054688.
Entre 3 e 7 caras: 912 ÷ 1.024 = 0,890625.
Média 5, variância 2,5 e desvio padrão ≈ 1,5811.

Pelo menos um 6 em 4 lançamentos de dado (n = 4, p = 1/6)

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (5/6)⁴ ≈ 0,517747. Ou seja, um pouco mais da metade das vezes.

Tabela da binomial para n = 10 e p = 0,5

x	C(10, x)	P(X = x)	P(X ≤ x)
0	1	0,000977	0,000977
1	10	0,009766	0,010742
2	45	0,043945	0,054688
3	120	0,117188	0,171875
4	210	0,205078	0,376953
5	252	0,246094	0,623047

Como p = 0,5, a distribuição é simétrica: P(X = 6) = P(X = 4), P(X = 7) = P(X = 3), e assim por diante.

Condições para usar a binomial

Número de tentativas fixo, definido antes.
Cada tentativa tem só dois resultados possíveis.
A probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas.
As tentativas são independentes: o resultado de uma não muda as outras.

Retirar bolas de uma urna sem reposição quebra a condição 3, e o modelo correto passa a ser a distribuição hipergeométrica. Quando n é grande e p não é extremo (n × p e n × (1 − p) maiores que 5, regra prática comum), a binomial pode ser aproximada pela distribuição normal com a mesma média e o mesmo desvio padrão. Para a média de uma distribuição qualquer, use a calculadora de valor esperado.