O que é valor esperado
O valor esperado, também chamado de esperança matemática, é o resultado médio de um experimento aleatório quando ele é repetido muitas e muitas vezes. Ele pondera cada resultado possível pela chance de ele acontecer, por isso serve para comparar apostas, rifas, seguros, decisões de negócio e qualquer escolha com resultado incerto.
E(X) = x₁ × P(x₁) + x₂ × P(x₂) + … + xₙ × P(xₙ) = Σ x × P(x)
- x: cada resultado possível (um ganho, uma perda, uma nota, um número do dado)
- P(x): a probabilidade daquele resultado; todas juntas somam 1, ou 100%
Exemplo: vale a pena comprar a rifa?
Uma rifa vende 200 bilhetes de R$ 5 e sorteia um prêmio de R$ 500. Para quem compra um bilhete, há dois resultados: ganhar (lucro de 500 − 5 = R$ 495, com chance de 1 em 200 = 0,5%) ou perder os R$ 5 (chance de 99,5%).
| Resultado x | P(x) | x × P(x) |
|---|---|---|
| R$ 495 | 0,005 | 2,475 |
| −R$ 5 | 0,995 | −4,975 |
| E(X) | −2,50 | |
Em média, cada bilhete "custa" R$ 2,50 a quem compra, que é exatamente a parte do dinheiro arrecadado que não volta como prêmio (R$ 1.000 arrecadados − R$ 500 de prêmio, divididos por 200 bilhetes). Esses são os valores já preenchidos na calculadora.
Exemplo: o dado comum
Cada face de 1 a 6 tem probabilidade 1/6. O valor esperado é (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ÷ 6 = 3,5. Repare que 3,5 nunca sai em uma jogada: o valor esperado é a média de muitas jogadas, não um palpite para a próxima. Para testar na prática, jogue muitas vezes no dado online e veja a média se aproximar de 3,5.
Variância e desvio padrão
Dois jogos podem ter o mesmo valor esperado e riscos muito diferentes. A variância mede o quanto os resultados se espalham em torno de E(X), e o desvio padrão traz essa medida de volta para a unidade original:
Var(X) = Σ (x − E(X))² × P(x) | DP = √Var(X)
Na rifa, o desvio padrão é de cerca de R$ 35,27, muito maior que a perda média de R$ 2,50: quase sempre você perde pouco, e raramente ganha muito. No dado, a variância é 35/12 ≈ 2,9167.
Como informar as probabilidades
- Porcentagem: 0,5; 99,5 (precisam somar 100%).
- Decimal ou fração: 0,005; 0,995 ou 1/200; 199/200 (precisam somar 1).
- Frequências: quantas vezes cada resultado aparece, como 1; 199. A calculadora divide pelo total.
Pequenas diferenças de arredondamento, como três vezes 33,33%, são ajustadas automaticamente e avisadas no resultado.
O valor esperado descreve o longo prazo. Ele não garante o resultado de uma rodada e não leva em conta o quanto uma perda pesa no seu bolso. Para a conta da média ponderada com pesos quaisquer, veja acalculadora de média ponderada; para chances de eventos, acalculadora de probabilidade.