O que é uma progressão aritmética
Progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anteriorsomado a uma constante, chamada de razão (r). Em (2, 5, 8, 11, ...) a razão é 3; em (10, 7, 4, ...) a razão é −3. O tema é do 1º ano do ensino médio e aparece com frequência no ENEM em problemas de prestações que aumentam um valor fixo, fileiras de cadeiras em um teatro ou empilhamento de latas.
Fórmulas da PA
Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1)·r
Soma dos n primeiros termos: Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2
Razão: r = aₙ − aₙ₋₁ = (aₙ − a₁) / (n − 1)
- a₁: primeiro termo
- aₙ: termo da posição n (o último, no caso da soma)
- r: razão
- n: posição do termo ou quantidade de termos
Exemplo resolvido
Na PA (2, 5, 8, 11, ...), qual é o 20º termo e quanto vale a soma dos 20 primeiros termos?
- a₁ = 2 e r = 5 − 2 = 3
- a₂₀ = 2 + (20 − 1) · 3 = 2 + 57 = 59
- S₂₀ = (2 + 59) · 20 / 2 = 61 · 10 = 610
- Lei de formação: aₙ = 2 + (n − 1)·3 = 3n − 1
A soma de Gauss
Conta a história que o matemático Carl Friedrich Gauss, ainda criança, somou de 1 a 100 em segundos ao perceber que 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98... sempre dão 101. São 50 pares, então a soma é 50 × 101 = 5.050. A fórmula Sₙ = (a₁ + aₙ)·n / 2 é exatamente essa ideia: a média entre o primeiro e o último termo, multiplicada pela quantidade de termos.
Classificação da PA
| Razão | Tipo | Exemplo |
|---|---|---|
| r > 0 | Crescente | (1, 4, 7, 10, ...) |
| r < 0 | Decrescente | (20, 15, 10, 5, ...) |
| r = 0 | Constante | (6, 6, 6, ...) |
PA no dia a dia: juros simples
Uma aplicação de R$ 1.000 a 2% ao mês em juros simples rende R$ 20 todo mês, e os montantes (1.020, 1.040, 1.060, ...) formam uma PA de razão 20. Por isso o montante dos juros simples é uma função do 1º grau do tempo. Veja acalculadora de juros simples. Quando o crescimento é percentual sobre o saldo, a sequência vira uma progressão geométrica: use a calculadora de PG.