O que é um sistema de equações lineares
Um sistema linear reúne duas ou mais equações do 1º grau que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Resolver o sistema é encontrar os valores de x e y (ou x, y e z) que satisfazem todas as equações juntas. É o conteúdo do 8º ano (sistemas 2×2) e do 2º ano do ensino médio (sistemas 3×3, matrizes e determinantes), muito cobrado no ENEM em problemas do tipo "em um estacionamento há carros e motos, somando 40 veículos e 130 rodas".
Regra de Cramer (método usado na calculadora)
Para o sistema a₁x + b₁y = k₁ e a₂x + b₂y = k₂:
D = a₁·b₂ − b₁·a₂ Dx = k₁·b₂ − b₁·k₂ Dy = a₁·k₂ − k₁·a₂
x = Dx / D y = Dy / D (só vale com D ≠ 0)
Dx é o determinante da matriz dos coeficientes com a coluna de x trocada pela coluna dos resultados; o mesmo vale para Dy e Dz. Nos sistemas 3×3 os determinantes são calculados pela regra de Sarrus.
Exemplo 2×2
x + y = 10 e x − y = 2:
- D = 1 · (−1) − 1 · 1 = −2
- Dx = 10 · (−1) − 1 · 2 = −12 → x = −12 ÷ (−2) = 6
- Dy = 1 · 2 − 10 · 1 = −8 → y = −8 ÷ (−2) = 4
- Prova real: 6 + 4 = 10 ✓ e 6 − 4 = 2 ✓
Pelo método da adição seria ainda mais rápido: somando as duas equações, 2x = 12, logo x = 6; substituindo na primeira, y = 10 − 6 = 4. Pelo método da substituição: da segunda, x = 2 + y; na primeira, 2 + y + y = 10, então y = 4 e x = 6.
Exemplo 3×3
x + y + z = 6; 2x − y + z = 3; x + 2y − z = 2:
- D (Sarrus) = (1 + 1 + 4) − (−1 + 2 − 2) = 7
- Dx = 7, Dy = 14, Dz = 21
- x = 7/7 = 1, y = 14/7 = 2, z = 21/7 = 3
Classificação do sistema
| Tipo | Quando acontece | Gráfico (2×2) |
|---|---|---|
| SPD — possível e determinado | D ≠ 0 | Retas concorrentes: um ponto em comum |
| SPI — possível e indeterminado | D = 0 e as equações são compatíveis | Retas coincidentes: infinitos pontos |
| SI — impossível | D = 0 e aparece 0 = k (k ≠ 0) no escalonamento | Retas paralelas: nenhum ponto |
Quando D = 0, a calculadora escalona o sistema (método de Gauss-Jordan) e compara o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz ampliada. No SPI ela mostra a solução geral, por exemplo "x = 3 − y, y qualquer número real".
Os cálculos são feitos com frações exatas, então decimais como 0,1 e 0,2 não geram erro de arredondamento. Para uma equação com uma só incógnita, use a calculadora de equação do 1º grau.