Como calcular o cosseno de um ângulo?

No triângulo retângulo, divida o cateto adjacente ao ângulo pela hipotenusa. Para ângulos quaisquer, o cosseno é a coordenada horizontal do ponto no ciclo trigonométrico; a calculadora faz a conta em graus ou radianos.

Quanto vale o cosseno de 30°, 45° e 60°?

cos 30° = √3/2 ≈ 0,866025; cos 45° = √2/2 ≈ 0,707107; cos 60° = 1/2 = 0,5. Também vale lembrar: cos 0° = 1, cos 90° = 0 e cos 180° = −1.

Em quais quadrantes o cosseno é negativo?

No 2º e no 3º quadrantes, ou seja, entre 90° e 270°. Nesses ângulos o ponto do ciclo trigonométrico fica à esquerda do eixo vertical. Exemplo: cos 120° = −1/2.

Por que cos(−θ) é igual a cos θ?

Porque o cosseno é uma função par: os ângulos θ e −θ são simétricos em relação ao eixo horizontal do ciclo e têm a mesma coordenada horizontal. Por isso cos(−60°) = cos 60° = 1/2.

Como descobrir o ângulo sabendo o cosseno?

Use o arco cosseno (cos⁻¹ ou arccos na calculadora científica). Se cos θ = 0,5, θ = 60°. Entre 0° e 360° também serve 300°, porque cos(360° − θ) = cos θ.

Calculadora de Cosseno

Calcule o cosseno de um ângulo em graus ou radianos, com valor exato nos ângulos notáveis, o cosseno pelos lados do triângulo e o arco cosseno.

O que é o cosseno

O cosseno de um ângulo agudo θ, em um triângulo retângulo, é a razão entre o cateto adjacente (o lado que encosta no ângulo, sem ser a hipotenusa) e a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto). Como a hipotenusa é sempre o maior lado, esse número fica entre 0 e 1 para ângulos de 0° a 90°.

cos θ = cateto adjacente ÷ hipotenusa

Exemplo: no triângulo de lados 3, 4 e 5, o ângulo junto ao cateto 4 tem cos θ = 4 ÷ 5 = 0,8. Aplicando o arco cosseno, θ ≈ 36,8699°. É o que a calculadora faz no modo "pelos lados", e ainda encontra o cateto que falta.

Tabela de cosseno dos ângulos notáveis

Ângulo	Radianos	Cosseno exato	Decimal
0°	0	1	1
30°	π/6	√3/2	0,866025
45°	π/4	√2/2	0,707107
60°	π/3	1/2	0,5
90°	π/2	0	0
120°	2π/3	−1/2	−0,5
135°	3π/4	−√2/2	−0,707107
150°	5π/6	−√3/2	−0,866025
180°	π	−1	−1

Cosseno no ciclo trigonométrico

Para ângulos maiores que 90° ou negativos, usa-se o círculo de raio 1 centrado na origem. O ângulo é medido a partir do eixo horizontal, no sentido anti-horário, e o cosseno é a coordenada horizontal (x) do ponto correspondente. Daí saem as regras de sinal:

1º quadrante (0° a 90°) e 4º quadrante (270° a 360°): cosseno positivo;
2º quadrante (90° a 180°) e 3º quadrante (180° a 270°): cosseno negativo.

O cosseno vai de 1 (em 0°) a −1 (em 180°) e volta a 1 em 360°, repetindo-se a cada volta: cos(θ + 360°) = cos θ.

Simetrias que a calculadora mostra

cos(−θ) = cos θ · cos(180° − θ) = −cos θ · cos(180° + θ) = −cos θ · cos(360° − θ) = cos θ

Essas igualdades permitem reduzir qualquer ângulo ao primeiro quadrante. Exemplo: cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2. A tabela de resultado aplica as quatro relações ao ângulo digitado, para você conferir.

Relações com seno e ângulo duplo

sen² θ + cos² θ = 1

Sabendo o cosseno, o seno sai dessa relação (com o sinal do quadrante). Se cos θ = 0,8 no 1º quadrante, sen θ = √(1 − 0,64) = 0,6. Outra fórmula frequente em vestibulares é a do ângulo duplo:

cos 2θ = 2·cos² θ − 1 = cos² θ − sen² θ

Com θ = 30°: 2 × (√3/2)² − 1 = 2 × 3/4 − 1 = 1/2, que é mesmo o cosseno de 60°.

Exemplo prático: rampa de acessibilidade

Uma rampa de 6 m de comprimento faz 5° com o chão. Quanto ela avança na horizontal? A rampa é a hipotenusa e o avanço é o cateto adjacente: 6 × cos 5° ≈ 6 × 0,996195 ≈ 5,98 m. A altura vencida seria 6 × sen 5° ≈ 0,52 m.

Para ver seno, tangente e as demais funções de uma vez, use acalculadora trigonométrica. Em triângulos que não são retângulos, o cosseno aparece na lei dos cossenos; para achar lados de triângulos retângulos, use a calculadora de Pitágoras.