Qual é a fórmula da lei dos cossenos?

a² = b² + c² − 2·b·c·cos A, onde A é o ângulo entre os lados b e c e a é o lado oposto a ele. A mesma regra vale trocando as letras: b² = a² + c² − 2·a·c·cos B.

Como achar um ângulo com a lei dos cossenos?

Isole o cosseno: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2·b·c) e aplique o arco-cosseno. Para os lados 7, 8 e 9, cos A = 96 ÷ 144 = 0,6667 e A ≈ 48,19°.

Qual a relação entre a lei dos cossenos e o teorema de Pitágoras?

Quando o ângulo é de 90°, cos 90° = 0 e o termo 2·b·c·cos A desaparece, sobrando a² = b² + c². Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos.

Como saber se o triângulo é obtusângulo pelos lados?

Compare o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois. Se for maior, o triângulo é obtusângulo; se for igual, retângulo; se for menor, acutângulo.

Calculadora da Lei dos Cossenos

Calcule o terceiro lado de um triângulo com dois lados e o ângulo entre eles, ou os ângulos a partir dos três lados, com passo a passo.

O que é a lei dos cossenos

A lei dos cossenos liga os três lados de um triângulo a um dos seus ângulos. Ela funciona em qualquer triângulo e resolve justamente os dois casos em que a lei dos senos não ajuda: quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles ou quando conhece os três lados. Como de costume, o lado a fica de frente para o ângulo A, o lado b para B e o lado c para C.

a² = b² + c² − 2·b·c·cos A

b² = a² + c² − 2·a·c·cos B · c² = a² + b² − 2·a·b·cos C

Caso 1: achar o terceiro lado

Com os lados b e c e o ângulo A formado por eles, basta substituir na fórmula e tirar a raiz quadrada. Exemplo: b = 5, c = 7 e A = 60° (cos 60° = 0,5).

a² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 25 + 49 − 35 = 39
a = √39 ≈ 6,2450
Com os três lados conhecidos, os outros ângulos saem do caso 2: B ≈ 43,8979° e C ≈ 76,1021°
Área = b × c × sen A ÷ 2 = 5 × 7 × 0,8660 ÷ 2 ≈ 15,1554

Quando o ângulo é obtuso, o cosseno é negativo e o terceiro lado fica maior. Com b = 8, c = 6 e A = 120° (cos 120° = −0,5): a² = 64 + 36 + 48 = 148 e a ≈ 12,1655.

Caso 2: achar os ângulos pelos três lados

Isolando o cosseno na fórmula:

cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2·b·c)

Exemplo com os lados 7, 8 e 9:

cos A = (8² + 9² − 7²) ÷ (2 × 8 × 9) = 96 ÷ 144 ≈ 0,6667 → A ≈ 48,1897°
cos B = (7² + 9² − 8²) ÷ (2 × 7 × 9) = 66 ÷ 126 ≈ 0,5238 → B ≈ 58,4119°
C = 180° − A − B ≈ 73,3985°

Os lados só formam um triângulo se cada um for menor que a soma dos outros dois. Com 1, 2 e 5, por exemplo, o cosseno daria um valor fora do intervalo de −1 a 1, e a calculadora avisa.

Pitágoras é um caso particular

Se A = 90°, o cos A é zero e a fórmula vira a² = b² + c², oteorema de Pitágoras. Daí sai uma regra rápida para classificar qualquer triângulo só pelos lados, comparando o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois:

Comparação	Triângulo	Exemplo
maior² = soma dos outros²	Retângulo	3, 4, 5: 25 = 9 + 16
maior² < soma dos outros²	Acutângulo	7, 8, 9: 81 < 49 + 64
maior² > soma dos outros²	Obtusângulo	2, 3, 4: 16 > 4 + 9

Onde a lei dos cossenos aparece

Além das questões de vestibular e do Enem, ela é usada para medir distâncias que não dá para percorrer em linha reta (a largura de um lago a partir de dois pontos na margem), em topografia, navegação e na soma de forças em física, quando dois vetores formam um ângulo qualquer. Para resolver o triângulo com área, alturas e classificação completa, use também a calculadora de triângulo.

Os ângulos são em graus e os resultados são arredondados para 4 casas decimais. Para converter radianos, use oconversor de ângulos.