O que é a lei dos senos
A lei dos senos relaciona cada lado de um triângulo com o ângulo que fica de frente para ele. Ela vale para qualquer triângulo, não só para o retângulo, e é a ferramenta certa quando você conhece um par "lado e ângulo oposto" e mais uma medida. Na calculadora acima, o lado a fica de frente para o ângulo A, o ladob de frente para B e o lado c de frente para C.
a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2R
O valor comum das três razões é igual a 2R, o diâmetro da circunferência circunscrita (a que passa pelos três vértices). Na prática, isso quer dizer que o maior lado sempre fica de frente para o maior ângulo.
Caso 1: dois ângulos e um lado
É o uso mais direto. O terceiro ângulo é o que falta para 180° e, com a razão comum em mãos, cada lado é a razão vezes o seno do seu ângulo oposto.
C = 180° − A − B · b = a × sen B ÷ sen A · c = a × sen C ÷ sen A
Exemplo: A = 45°, B = 60° e a = 10.
- C = 180° − 45° − 60° = 75°
- Razão comum: 10 ÷ sen 45° = 10 ÷ 0,7071 ≈ 14,1421 (é 10√2)
- b = 14,1421 × sen 60° = 14,1421 × 0,8660 ≈ 12,2474
- c = 14,1421 × sen 75° = 14,1421 × 0,9659 ≈ 13,6603
- Área = a × b × sen C ÷ 2 ≈ 59,1506
Caso 2: dois lados e um ângulo oposto (caso ambíguo)
Quando você conhece os lados a e b e o ângulo A (que não fica entre eles), a lei dos senos dá o seno de B:
sen B = b × sen A ÷ a
O problema é que dois ângulos diferentes têm o mesmo seno: B e 180° − B. Por isso esse caso é chamado deambíguo e pode ter três desfechos:
| Situação | Resultado |
|---|---|
| sen B maior que 1 | Nenhum triângulo: o lado a é curto demais para fechar a figura |
| A reto ou obtuso e a menor ou igual a b | Nenhum triângulo: o maior ângulo exige o maior lado |
| sen B igual a 1 | Um triângulo, retângulo em B |
| A agudo, a menor que b e sen B menor que 1 | Dois triângulos: um com B agudo e outro com B obtuso |
| a maior ou igual a b (com sen B menor que 1) | Um triângulo só |
Exemplo com duas respostas: a = 7, b = 10 e A = 30°.
- sen B = 10 × 0,5 ÷ 7 ≈ 0,7143
- Solução 1: B ≈ 45,5847°, C ≈ 104,4153° e c ≈ 13,5592
- Solução 2: B ≈ 134,4153°, C ≈ 15,5847° e c ≈ 3,7613
Se os dados forem a = 3, b = 10 e A = 30°, o seno de B daria 1,6667, o que é impossível: não existe triângulo. Em prova, é comum o enunciado trazer uma pista (o triângulo é obtusângulo, por exemplo) para escolher entre as duas soluções.
Lei dos senos ou lei dos cossenos?
- Lei dos senos: dois ângulos e um lado, ou dois lados e o ângulo oposto a um deles.
- Lei dos cossenos: dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. Para esses casos, use acalculadora da lei dos cossenos.
Quer área, perímetro, alturas e classificação do triângulo de uma vez? Acalculadora de triângulo resolve a figura inteira. Se o triângulo tem um ângulo reto, o teorema de Pitágoras costuma ser mais rápido.
Os ângulos são em graus. Se o seu problema está em radianos, converta antes noconversor de ângulos. Os resultados são arredondados para 4 casas decimais.