O que é módulo
O módulo (ou valor absoluto) de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica. Como distância não tem sinal, o módulo nunca é negativo: o −5 e o 5 estão os dois a 5 unidades do zero, então |−5| = |5| = 5.
|x| = x, se x ≥ 0 · |x| = −x, se x < 0
A segunda linha costuma confundir: se x é negativo, −x é positivo. Para x = −5, −x = −(−5) = 5. Ou seja, o módulo "tira o sinal de menos" de um número negativo e não mexe nos positivos.
Exemplos
| Expressão | Resultado |
|---|---|
| |12| | 12 |
| |−7,5| | 7,5 |
| |−3/4| | 3/4 |
| |0| | 0 |
| |2 − 9| | |−7| = 7 (resolva primeiro o que está dentro) |
| −|−4| | −4 (o sinal de fora fica) |
Distância entre dois números
A distância entre os pontos a e b da reta é o módulo da diferença, e a ordem não importa:
d(a, b) = |a − b| = |b − a|
Exemplo: entre −3 e 5, d = |−3 − 5| = |−8| = 8. É o mesmo cálculo usado para a variação de temperatura entre −3 °C e 5 °C.
Equação modular
Em |ax + b| = c, o que está dentro das barras pode valer c ou −c, porque os dois têm módulo c. Por isso a equação vira duas equações do primeiro grau:
|ax + b| = c → ax + b = c ou ax + b = −c
- c > 0: duas soluções. Exemplo: |2x + 1| = 7 → 2x + 1 = 7 (x = 3) ou 2x + 1 = −7 (x = −4). S = {−4; 3}.
- c = 0: uma solução, a que zera o que está dentro. |2x − 4| = 0 → x = 2.
- c < 0: nenhuma solução, porque o módulo nunca é negativo.
Cada uma das duas equações pode ser conferida na calculadora de equação do 1º grau.
Módulo de número complexo
Para z = a + bi, o módulo é a distância do ponto (a, b) até a origem no plano de Argand-Gauss, calculada pelo teorema de Pitágoras:
|z| = √(a² + b²)
Exemplo: |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5. Quando a raiz não é exata, a calculadora mostra a forma simplificada, como |2 − 4i| = √20 = 2√5 ≈ 4,472136. Para simplificar outras raízes, use acalculadora de raiz quadrada.
Propriedades úteis
- |a × b| = |a| × |b| e |a ÷ b| = |a| ÷ |b|
- |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)
- √(x²) = |x|, e não x: √((−3)²) = √9 = 3