O que é dízima periódica?

É um número decimal com infinitas casas em que um grupo de algarismos, o período, se repete para sempre. Exemplos: 0,333... (período 3) e 0,1666... (período 6, antiperíodo 1). Toda dízima periódica é um número racional.

Qual a diferença entre dízima simples e composta?

Na simples, a repetição começa logo depois da vírgula, como em 0,454545... Na composta, há algarismos que não se repetem entre a vírgula e o período (o antiperíodo), como em 0,8333..., em que o 8 aparece uma vez só.

Como calcular a fração geratriz?

Chame a dízima de x, multiplique por potências de 10 até ter duas igualdades com a mesma parte que se repete depois da vírgula e subtraia uma da outra. Em 0,1666...: 100x = 16,66... e 10x = 1,66...; logo 90x = 15 e x = 15/90 = 1/6.

Como saber se uma fração vira dízima?

Simplifique a fração e fatore o denominador. Se ele só tiver os fatores 2 e 5, a divisão termina (decimal exato, como 3/8 = 0,375). Se tiver qualquer outro fator primo, o resultado é uma dízima periódica, como 1/3 ou 5/12.

Dízima periódica é número irracional?

Não. Toda dízima periódica pode ser escrita como fração, então é racional. Irracionais como π e √2 também têm infinitas casas, mas sem nenhum período que se repita.

Calculadora de Dízima Periódica (Fração Geratriz)

Encontre a fração geratriz de uma dízima periódica simples ou composta, com o método algébrico passo a passo, e descubra o período de uma fração.

O que é uma dízima periódica

Dízima periódica é um decimal infinito em que um bloco de algarismos se repete sem parar. Esse bloco é operíodo. Os algarismos que aparecem depois da vírgula, mas antes de a repetição começar, formam oantiperíodo. Toda dízima periódica nasce de uma divisão entre inteiros, e a fração que a produz é chamada de fração geratriz.

Dízima	Parte inteira	Antiperíodo	Período	Tipo
0,333...	0	—	3	simples
2,4545...	2	—	45	simples
0,1666...	0	1	6	composta
1,23434...	1	2	34	composta

Também é comum escrever o período entre parênteses ou com uma barra em cima: 0,1(6) significa 0,1666...

Como achar a fração geratriz (método algébrico)

É o método cobrado em provas e no ENEM, e é o que aparece no passo a passo da calculadora:

Chame a dízima de x.
Multiplique x por 10, 100, 1.000... para que a vírgula fique logo antes do período (pule se a dízima for simples).
Multiplique x de novo, agora para que a vírgula pule também um período inteiro.
Subtraia as duas igualdades: a parte infinita depois da vírgula é a mesma nas duas e se cancela.
Isole x e simplifique a fração.

Exemplo: dízima composta 0,1666...

x = 0,1666...
10x = 1,666... (o antiperíodo "1" passou para antes da vírgula)
100x = 16,666... (passou também um período)
100x − 10x = 16,666... − 1,666... → 90x = 15
x = 15/90 = 1/6

Exemplo: dízima simples 2,4545...

x = 2,4545... e 100x = 245,4545...
100x − x = 243 → 99x = 243
x = 243/99 = 27/11

Regra prática

geratriz = (número até o fim do 1º período, sem vírgula − parte que não se repete) ÷ (um 9 por algarismo do período e um 0 por algarismo do antiperíodo)

Em 1,2343434...: (1234 − 12) ÷ 990 = 1222/990 = 611/495. A regra é só um atalho do método algébrico: os noves vêm da subtração 100x − x, 1000x − x etc., e os zeros, da multiplicação que tira o antiperíodo de depois da vírgula.

Quando uma fração gera dízima

Simplifique a fração e olhe o denominador. Como 10 = 2 × 5, só os fatores 2 e 5 "cabem" em potências de 10:

Só 2 e 5 no denominador: decimal exato. 3/8 = 0,375 (8 = 2³).
Nenhum 2 ou 5: dízima simples. 7/11 = 0,(63).
2 ou 5 junto com outro primo: dízima composta. 5/12 = 0,41(6), pois 12 = 2² × 3; o expoente 2 dá as duas casas do antiperíodo.

O período nunca tem mais algarismos do que o denominador menos 1: 1/7 = 0,(142857) tem 6, e 1/17 tem 16. Na divisão longa só existem d − 1 restos possíveis diferentes de zero, então algum se repete e, a partir dele, os algarismos também se repetem.

Para transformar decimais exatos em fração ou achar frações aproximadas (como 22/7 para π), use oconversor de decimal para fração. Para reduzir uma fração, veja acalculadora de simplificar frações.